Question

12．已知函数f（x）=3${\;}^{-{x}^{2}+ax+2}$．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）若a=2，求函数f（x）的单调区间，并求出其值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），得出a的值；
（2）根据复合函数的单调性，判断出函数y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$的单调性，求出它的单调区间与最值，即得y的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3${\;}^{-{x}^{2}+ax+2}$是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即${3}^{{-（-x）}^{2}+a（-x）+2}$=${3}^{{-x}^{2}+ax+2}$，
即-x²-ax+2=-x²+ax+2，
∴2ax=0，
∴a=0；
（2）当a=2时，函数f（x）=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$，
若x≤1，则函数t=-x²+2x+2是增函数，
函数y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$是增函数；
若x≥1，则函数t=-x²+2x+2，
函数y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$是单调减函数；
∴函数y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$的单调增区间是（-∞，1]，
单调减区间是[1，+∞）；
又t=-x²+2x+2=-（x-1）²+3≤3，
∴y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$≤27，
又y＞0，
∴函数y的值域是（0，27]．

点评 本题考查了幂函数的图象与性质，也考查了复合函数的图象与性质，是综合性题目．