【题目】四棱锥
的底面ABCD为直角梯形，
，
，
，
为正三角形．
Ⅰ
点M为棱AB上一点，若
平面SDM，
，求实数
的值；
Ⅱ若
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
Ⅰ
推导出
，
，从而四边形BCDM为平行四边形，由
，得M为AB的中点
由此能求出
Ⅱ在平面SCD内过点S作
直线CD于点E，以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
Ⅰ
平面
平面ABCD，
平面
平面
，
，
，
四边形BCDM为平行四边形，
又，
为AB的中点．
，
．
Ⅱ
，
，
平面SCD，
又
平面ABCD，平面
平面ABCD，平面
平面
，
在平面SCD内过点S作直线CD于点E，
则平面ABCD，在
和
中，
，
，
又由题知
，
，
，
以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系，
则
0，
，
0，
，
0，，
2，，
2，，
0，
，
2，，
2，，
0，，
设平面SAB的法向量
y，
，
则
，令
，得
0，，
同理得
1，
为平面SBC的一个法向量，
，
二面角为钝角，二面角的余弦值为．
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【题目】已知
， 
为两条不同的直线， 
， 
为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①
， 
， 
， 
②
， 
③
， 
， 
④
， 
其中正确命题的个数有（ ）
A. 
个 B. 
个 C. 
个 D. 
个
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【题目】如图为某大河的一段支流，岸线
近似满足
∥
宽度为7
圆
为河中的一个半径为2
的小岛，小镇
位于岸线上，且满足岸线
现计划建造一条自小镇经小岛至对岸
的通道
（图中粗线部分折线段，
在右侧），为保护小岛，
段设计成与圆相切，设
（1）试将通道的长
表示成
的函数，并指出其定义域.
（2）求通道的最短长.
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【题目】如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6
，上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800
，设该铝合金窗的宽和高分别为
，铝合金窗的透光部分的面积为
.
（1）试用
表示
；
（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
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【题目】某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升血液中的含药量
（微克）与服药的时间
（小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中
是线段，曲线
是函数
（
，
，且
，
是常数）的图象.
（1）写出服药后关于的函数关系式；
（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于
微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上
，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后
小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克？（精确到
微克）
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【题目】2017年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（
）分成六段： 
， 
， 
， 
， 
， 
，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在
的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率．
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