Question

（2007•淄博三模）设椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，F(0，c)(c＞0)为椭圆的焦点，它到直线y=

a2

c

的距离及椭圆的离心率均为

2

2

，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

AP

=λ

PB

（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知及其a²=b²+c²即可得出；
（II）利用向量相等及其根与系数的关系即可得出m的取值范围．

解答：解：（ I）由条件知

a2 c -c= 2 2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得b=c=

2

2

，a=1．
故椭圆C的方程为y²+2x²=1．
（ II）由

AP

=λ

PB

得

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，化为(1+λ)

OP

=

OA

+λ

OB

．
∴1+λ=4，解得λ=3．
设直线l 与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0．
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．（*）
∴x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

．
∵

AP

=3

PB

，∴-x₁=3x₂，
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

，
消去x₂，得3(x1+x2)2+4x1x2=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0．
整理得：4k²m²+2m²-k²-2=0，
m2=

1

4

时，上式不成立；
m2≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

．
由（*）式得k²＞2m²-2
∴

2-2m2

4m2-1

＞2m2-2
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
即所求m的取值范围为(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立、判别式与方程的根的关系、根与系数的关系、向量相等等是解题的关键．