[题目]已知椭圆的左.右焦点分别是...是其左右顶点.点是椭圆上任一点.且的周长为6.若面积的最大值为.(1)求椭圆的方程,(2)若过点且斜率不为0的直线交椭圆于.两个不同点.证明:直线与的交点在一条定直线上. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是，，，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两个不同点，证明：直线与的交点在一条定直线上.

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）利用椭圆的定义，可求出周长的表达式，当点是椭圆的上（或下）顶点时，面积有最大值为，列出等式，结合，求出椭圆方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线与的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论。

解：（1）由题意得

椭圆的方程为；

（2）由（1）得，，，设直线的方程为，

，，由，得，

，，，

直线的方程为，直线的方程为，

，，

，直线与的交点在直线上.

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在答题卡上写出，，，的值；

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