Question

4．（1）当x＜$\frac{3}{2}$时，求函数y=x+$\frac{8}{2x-3}$的最大值；
（2）设0＜x＜2，求函数y=$\sqrt{x（4-2x）}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）y=-[（$\frac{3}{2}$-x）+$\frac{4}{\frac{3}{2}-x}$]+$\frac{3}{2}$，利用基本不等式得出最值；
（2）利用二次函数的性质求出最值．

解答 解：（1）y=x-$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{x-\frac{3}{2}}$+$\frac{3}{2}$=-[（$\frac{3}{2}$-x）+$\frac{4}{\frac{3}{2}-x}$]+$\frac{3}{2}$．
∵x$＜\frac{3}{2}$，∴$\frac{3}{2}-x＞0$．
∴$\frac{3}{2}-x$+$\frac{4}{\frac{3}{2}-x}$≥2$\sqrt{4}$=4．
∴-[（$\frac{3}{2}$-x）+$\frac{4}{\frac{3}{2}-x}$]+$\frac{3}{2}$≤-4+$\frac{3}{2}$=-$\frac{5}{2}$．
∴当$\frac{3}{2}-x$=$\frac{4}{\frac{3}{2}-x}$即x=-$\frac{1}{2}$时，y取得最大值-$\frac{5}{2}$．
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+4x}$=$\sqrt{-2（x-1）^{2}+2}$$≤\sqrt{2}$．
∴当x=1时，y取得最大值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用，二次函数的最值，属于基础题．