Question

10．已知圆C过点$A（\frac{3}{4}，\;0）$，且与直线$l：\;x=-\frac{3}{4}$相切，
（I）求圆心C的轨迹方程；
（II） O为原点，圆心C的轨迹上两点M、N（不同于点O）满足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，已知$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{ON}$，证明直线PQ过定点，并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，即可求圆心C的轨迹方程；
（II） 求出M，N的坐标，可得P，Q的坐标，进而可得直线PQ的方程，从而证明直线PQ过定点，并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，
由$\frac{p}{2}=\frac{3}{4}$得y²=2px=3x，得圆心C的轨迹方程为y²=3x；-------------------------（3分）
（Ⅱ）证明：依题意知OM的斜率k存在，且k≠0，设OM的方程为y=kx，------------（4分）
∵OM⊥ON，则ON的方程为$y=-\frac{1}{k}x$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y^2}=3x}\end{array}}\right.$得k²x²=3x，得${x_M}=\frac{3}{k^2}$，------------------------------------------------------（6分）
同理得${x_N}=3{k^2}$，
由已知得${x_P}=\frac{1}{k^2}$，${x_N}={k^2}$，∴$P（\frac{1}{k^2}，\;\frac{1}{k}）$，Q（k²，-k），----------------------------（8分）
∴${k_{PQ}}=\frac{{-k-\frac{1}{k}}}{{{k^2}-\frac{1}{k^2}}}=-\frac{k}{{{k^2}-1}}$，直线PQ的方程为y+k=$-\frac{k}{{{k^2}-1}}（x-{k^2}）$，
即k（x-1）+（k²-1）y=0，∴直线PQ过定点（1，0），---------------------------------（10分）
设B（1，0），则${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}|AB|•|{y_P}-{y_Q}|=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×|\frac{1}{k}+k|$=$\frac{1}{8}（|\frac{1}{k}|+|k|）≥\frac{1}{8}×2=\frac{1}{4}$，
∴△APQ面积的最小值为$\frac{1}{4}$．---------------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．