Question

【题目】某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润＝收入－生产成本－促销费用）

（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；

（2）试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据与成反比例，当年促销费用为零万元时，年销量是万件，可求出的值，进而通过表示出年利润，并化简整理，代入整理即可求出万元表示为促销费万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．

试题解析：（1）设反比例系数为k（k≠0）．由题意有3－x＝.

又t＝0时，x＝1,所以3－1＝，k＝2,

则x与t的关系是x＝3－（t≥0）,

依据题意， 可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3＋32x）万元，促销费用为t万元，

则每件纪念品的定价为元/件，

于是进一步化简，得

y＝－－（t≥0）.

因此工厂2017年的年利润为y＝－－（t≥0）.

（2）由（1）知，y＝－－（t≥0）＝50－≤50－2＝42,

当且仅当＝，即t＝7时取等号，

所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．