Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形， 为等边三角形，，点为中点，平面平面.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；

（2）求二面角的大小.

 

Answer 1

（1）异面直线和所成角的余弦值为;（2）二面角的大小为.

【解析】

试题分析：（1）建立如图所示坐标系,写出各点的空间坐标，利用，夹角的余弦，得出两异面直线和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量与平面的法向量的夹角，求出二面角的大小.

试题解析：

【解析】
取的中点，连接，为等边三角形，

，又平面平面， 2分

以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系. ，不妨设,依题意可得：

3分

（1）,

从而 ,

5分

于是异面直线和所成角的余弦值为.6分

（2）因为，所以是平面的法向量，8分

设平面的法向量为，又，

由 即，令得 10分

于是 11分

从而二面角的大小为. 12分

考点：异面直线所成的角，二面角，空间向量.