Question

已知椭圆与的离心率相等. 直线与曲线交于两点（在的左侧），与曲线交于两点（在的左侧）,为坐标原点，．
（1）当=，时，求椭圆的方程；
（2）若，且和相似，求的值．

Answer 1

（1）的方程分别为，．（2）.

解析试题分析：（1）由于已知中明确了曲线方程的形式，所以，关键是建立“待定系数”.由已知建立方程组即可得解.
（2）由于三角形相似，因此要注意利用对应边成比例，并结合，建立的方程.将与方程，联立可得在坐标关系．
利用，得到 .
根据椭圆的对称性可知：，，又和相似，得到，
于是从出发，得到，即的方程.
试题解析：
（1）∵的离心率相等，
∴,∴，                     2分
，将分别代入曲线方程，
由，
由.
当=时，,．
又∵,.
由 解得.
∴的方程分别为，．               5分
（2）将代入曲线得
将代入曲线得，
由于，
所以,，，．
，，
                               8分
根据椭圆的对称性可知：，， 又和相似，
，
，
由化简得
代入得                         13分
考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的数量积.