Question

13．已知函数y=5cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）（其中k∈N），对任意实数a，在区间[a，a+3]上要使函数值$\frac{5}{4}$出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（　　）

• A． 2或3
• B． 4或3
• C． 5或3
• D． 8或3

Answer 1

分析 根据题意，可得cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，由余弦函数的图象与性质得：当长度为3的区间大于2个周期且小于4个周期时，可使区间[a，a+3]上函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，由此建立关于k的不等式并解之，即可得到整数k的值．

解答 解：令y=5cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）=$\frac{5}{4}$，
得cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$；
∵函数y=cosx在每个周期内出现函数值为$\frac{1}{4}$的有两次，而区间[a，a+3]长度为3，
∴为了使长度为3的区间内出现函数值$\frac{1}{4}$不少于4次且不多于8次，
必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度；
即2×$\frac{2π}{\frac{2k+1}{3}π}$≤3且4×$\frac{2π}{\frac{2k+1}{3}π}$≥3，
解之得$\frac{3}{2}$≤k≤$\frac{7}{2}$；
又k∈N，故k值为2或3．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．