Question

【题目】如图，边长为的正方形与梯形所在的平面互相垂直，已知，，，点在线段上.

（1）证明：平面平面；

（2）判断点的位置，使得平面与平面所成的锐二面角为.

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）点在线段的靠近点的三等分点处.

【解析】

（1）先由题中数据，根据勾股定理，得到，再由面面垂直的性质定理，得到，根据线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先在面内过点作，垂足为，根据题意，得到；，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，因为点在线段上，所以可设，得到，再分别求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角公式，以及题中条件，即可求出结果.

（1）因为底面为梯形，，，所以，

又，所以，

因为，正方形边长为，

所以，因此，

又因为平面平面，，平面平面，

所以平面，因此，

又，所以平面；

因为平面，所以平面平面；

（2）在面内过点作，垂足为，因为，所以；

又因为平面，所以；

以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，因为点在线段上，所以可设，

即，

所以，即，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，

又易知：平面，所以为平面的一个法向量，

所以，

解得：，所以，

即，点点在线段的靠近点的三等分点处.