Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：
①f（ ）= ；
②任意x∈[0， ]，都有f（ ﹣x）+f（ +x）=4；
③任意x1 ， x2∈（ ，π），且x1≠x2 ， 都有 ＜0．
其中所有正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）= = ；
当arctan2＜x＜ ，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣ =2﹣ ；
当x= 时，f（x）=2；
当 ＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣ ．
当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣ =4+ ．于是可得：
① = = ，正确；
②由图形可得：x∈[0，π]），f（x）+f（π﹣x）=4，
因此对任意x∈[0， ]，都有f（ ﹣x）+f（ +x）=4，故正确；
③不妨设x1＜x2 ， 则 ＜0f（x1）＞f（x2），显然不正确．
综上只有：①②正确．
故答案为：①②．

当0≤x≤arctan2时，f（x）= ；当arctan2＜x＜ ，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣ ；当x= 时，f（x）=2；当 ＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣ ．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣ =4+ ．即可判断出．