Question

【题目】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， ．
由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn ， 由a2n=6n﹣2，有 ， ，
上述两式相减，得 = ．
得 ．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn ， 利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．