【题目】已知函数
有两个不同的零点.
(1)求的取值范围;
(2)设,
是
的两个零点,证明:
.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出,分四种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据单调性,结合函数草图可筛选出符合题意的
的取值范围;(2)构造函数设
,
,可利用导数证明∴
,∴
,
于是,即
,
在
上单调递减,可得
,进而可得结果.
试题解析:(1)【解法一】
函数的定义域为:
.
,
①当时,易得
,则
在
上单调递增,
则至多只有一个零点,不符合题意,舍去.
②当时,令
得:
,则
+ | 0 | - | |
增 | 极大 | 减 |
∴
.
设,∵
,则
在
上单调递增.
又∵,∴
时,
;
时,
.
因此:
(i)当时,
,则
无零点,
不符合题意,舍去.
(ii)当时,
,
∵
,∴
在区间
上有一个零点,
∵
,
设,
,∵
,
∴在
上单调递减,则
,
∴,
∴在区间
上有一个零点,那么,
恰有两个零点.
综上所述,当有两个不同零点时,
的取值范围是
.
(1)【解法二】
函数的定义域为: .
,
①当时,易得
,则
在
上单调递增,
则至多只有一个零点,不符合题意,舍去.
②当时,令
得:
,则
+ | 0 | - | |
增 | 极大 | 减 |
∴
.
∴要使函数有两个零点,则必有
,即
,
设,∵
,则
在
上单调递增,
又∵,∴
;
当时:
∵
,
∴在区间
上有一个零点;
设,
∵,∴
在
上单调递增,在
上单调递减,
∴,∴
,
∴
,
则,∴
在区间
上有一个零点,
那么,此时恰有两个零点.
综上所述,当有两个不同零点时,
的取值范围是
.
(2)【证法一】
由(1)可知,∵有两个不同零点,∴
,且当
时,
是增函数;
当时,
是减函数;
不妨设: ,则:
;
设,
,
则:
.
当时,
,∴
单调递增,又∵
,
∴,∴
,
∵,∴
,
∵,∴
,
∵,
,
在
上单调递减,
∴,∴
.
(2)【证法二】
由(1)可知,∵有两个不同零点,∴
,且当
时,
是增函数;
当时,
是减函数;
不妨设: ,则:
;
设,
,
则
.
当时,
,∴
单调递增,
又∵,∴
,∴
,
∵,
∴
,
∵,
,
在
上单调递减,
∴,∴
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求U(A∩B);
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次.记录如下:
甲: ,
,
,
,
,
,
,
乙: ,
,
,
,
,
,
,
()用茎叶图表示这两组数据.
()现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.
()若将频率视为概率,对甲同学在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这
次成绩中高于
分的次数为
,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆:
,圆
:
,动圆
与圆
外切并且与圆
内切,圆心
轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若是曲线
上关于
轴对称的两点,点
,直线
交曲线
于另一点,求证:直线
过定点,并求该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】小李在做一份调查问卷,共有4道题,其中有两种题型,一种是选择题,共2道,另一种是填空题,共2道.
(1)小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),求所选的题不是同一种题型的概率;
(2)小李从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),求所选的题不是同一种题型的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+
对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】正△ABC的边长为2, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC的中点(如图(1)).现将△ABC沿CD翻成直二面角A-DC-B(如图(2)).在图(2)中:
(1)求证:AB∥平面DEF;
(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论;
(3)求二面角E-DF-C的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校进行文科、理科数学成绩对比,某次考试后,各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计,其频率分布表如下.
(Ⅰ)根据数学成绩的频率分布表,求理科数学成绩的中位数的估计值;(精确到0.01)
(Ⅱ)请填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关:
参考公式与临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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