Question

（本题满分10分）
如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

⑴求证：A₁C⊥平面BDE；
⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

Answer 1

⑴由三垂线定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE
⑵

试题分析：⑴由三垂线定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，
，∴，∴
设A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成角，
∴
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。本题解法利用了向量，简化了证明过程。