Question

6．[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，[-1.3]=-2，[3]=3，若f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，则函数g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域为{-1，0}．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的值域，然后求出[f（x）-$\frac{1}{2}$]的值，再求出f（-x）的值域，然后求出[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值，最后求出g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（0，1），
∴f（x）-$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
[f（x）-$\frac{1}{2}$]=0 或-1，
∵f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（0，1），
∴f（-x）-$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=-1或0，
∴g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域为{0，-1}．
故答案为：{0，-1}．

点评 本题主要考查了函数的值域，同时考查分类讨论的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．