Question

15．直角坐标系xOy中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（4，3），点C坐标为（1，-3），且$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AB}$（t∈R）．
（1）若CM⊥AB，求t的值；
（2）当0≤t≤1时，求直线CM的斜率k和倾斜角θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方程即可求出t的值；
（2）【解法一】根据题意求出AC与AB的斜率，写出斜率k的取值范围，即可求出倾斜角θ的取值范围；
【解发二】讨论t的取值，求出直线CM的斜率取值范围，即可求出倾斜角的取值范围．

解答 解：（1）根据平面向量的坐标表示得，
$\overrightarrow{AB}$=（6，3），$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AB}$=（6t，3t），
$\overrightarrow{AC}$=（3，-3），$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AC}$=（6t-3，3t+3），
∵$\overrightarrow{CM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=45t-9=0，
∴t=$\frac{1}{5}$；（4分）
（2）【解法一】点M在线段AB上，AC的斜率k₁=-1，AB的斜率k₂=2，
∴直线CM的斜率满足k≤-1，或k≥2，（8分）
∴倾斜角θ∈[arctan2，$\frac{3π}{4}$]；（10分）
【解法二】当t=$\frac{1}{2}$时，CM的斜率不存在；
当t≠$\frac{1}{2}$时，CM的斜率k=$\frac{t+1}{2t-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{3}{2}}{2t-1}$在区间$[0，\frac{1}{2}）$和$（\frac{1}{2}，1]$单调递减，（7分）
∴k∈（-∞，-1]∪[2，+∞]，
倾斜角θ∈[arctan2，$\frac{3π}{4}$]．（10分）

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积的应用问题，也考查了直线的斜率与倾斜角的应用问题，是综合性题目．