Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，S_n=

1

3

(an+1-1)，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

1

log4an+1log4an+2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与1的大小．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，两式相减，可得数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列的通项；
（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．

解答：解：（1）由已知易得：a₂=4，a₃=16   …（2分）
当n≥2时，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，两式相减得：a_n+1=4a_n，
又由于a₁=1，a₂=4，
所以数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以其通项公式为：a_n=4^n-1（n∈N^*）…（6分）
（2）由（1）可知bn=

1

log4an+1log4an+2

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

…（8分）
则T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．