【题目】过轴上动点
引抛物线
的两条切线
、
,
、
为切点,设切线
、
的斜率分别为
和
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求证:直线恒过顶点,并求出此定点坐标;
【答案】(1)见解析;(2)直线过定点
,证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设过与抛物线
的相切的直线的斜率是
,则该切线的方程为
,将直线方程代入抛物线的方程化简得
,由
得
,而
都是方程
的解,故
;(Ⅱ)法1:设
,由导数的几何意义求出切线的斜率,由点斜式写出切线方程并化简变形得切线
方程为
,切线
方程为
,又由于
点在AP、AQ上,所以
,
,则直线
的方程是
,则直线
过定点
.;法2:由(1)知P、Q的横坐标是方程
的根,可设
,由两点坐标求得PQ的方程并化简为即
,由(1)知
,所以直线
的方程是
,则直线
过定点
.
试题解析:(Ⅰ)设过与抛物线
的相切的直线的斜率是
,
则该切线的方程为: ,由
得
,
则都是方程
的解,故
。
(Ⅱ)法1:设,
故切线的斜率是
,方程是
又
,
所以方程可化为,
切线的斜率是
,方程是
又
,
所以方程可化为,
又由于点在AP上,则
,
又由于点在AQ上,则
,
,
则直线的方程是
,则直线
过定点
.
法2:设, 所以,
直线:
,
即,由(1)知
,
所以,直线的方程是
,则直线
过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是公差不为零的等差数列,
是等比数列,且
,
,
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)记,求数列
的前
项和
;
(3)若满足不等式成立的
恰有
个,求正整数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知动直线过点
,且与圆
交于
、
两点.
(1)若直线的斜率为
,求
的面积;
(2)若直线的斜率为
,点
是圆
上任意一点,求
的取值范围;
(3)是否存在一个定点(不同于点
),对于任意不与
轴重合的直线
,都有
平分
,若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+5﹣a|
(1)若不等式f(x)﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5,﹣1],求实数a的值;
(2)若x0∈R,使得f(x0)<4m+m2 , 求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
()若关于
的不等式
的解集为
,求实数
的取值范围.
()若关于
的不等式
的解集是
,求
,
的值.
()若关于
的不等式
的解集是
,集合
,若
,求实数
的取值范围.
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