Question

已知定义在实数集R上的奇函数f(x)=

ax+b

x2+2

（a、b∈R）过已知点（1，-1）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间[2，+∞）是增函数；若函数f（x）在区间[c，+∞）（其中c＞0）也是增函数，求c的最小值；
（Ⅲ）试讨论这个函数的单调性，并求它的最大值、最小值，在给出的坐标系（见答题卡）中画出能体现主要特征的图简；
（Ⅳ）求不等式f(sinx-cosx)＜f((

3

-1)cosx)的解集．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,函数图象的作法,两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由f（0）=0，求得b=0．再由函数的图象过已知点（1，-1）求得a=-3，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）当x≥2时，由于f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＞0，可得函数f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
令f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

=0，可得 c=

2

，可得函数f（x）的增区间为[

2

，+∞），由此求得c的最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）的单调区间，再根据函数的单调区间求得函数的最值．
（Ⅳ）（Ⅳ）因为sinx-cosx∈[-

2

，

2

]，(

3

-1)cosx∈[-

2

，

2

]，不等式化为化为sinx-cosx＞(

3

-1)cosx，即sinx＞

3

cosx，由此求得它的解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵奇函数f(x)=

ax+b

x2+2

（a、b∈R），由f（0）=0，求得b=0．
再由函数的图象过已知点（1，-1），可得

a×1

1+2

=-1，求得a=-3，故f（x）=-

3x

x2+2

．
（Ⅱ）当x≥2时，由于f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＞0，∴函数f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
令f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

=0，求得 c=

2

，或 c=-

2

（舍去）．
当x＞

2

时，f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＞0，故函数f（x）在区间[

2

，+∞）（其中c＞0）也是增函数．
再由函数f（x）在区间[c，+∞）也是增函数，可得c≥

2

，即c的最小值为

2

．
（Ⅲ）由（2）可知函数f（x）在区间[

2

，+∞)是增函数，由奇函数可知道，函数f（x）
在区间(-∞，-

2

]也是增函数．
在区间[-

2

，

2

]上，由于f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＜0，所以，函数f（x）在区间[-

2

，

2

]是减函数．
这样，就有fmax(x)=f(-

2

)=

3 2

4

，fmin(x)=f(

2

)=-

3 2

4

，图象如下所示．   
（Ⅳ）因为sinx-cosx∈[-

2

，

2

]，(

3

-1)cosx∈[-

2

，

2

]，
而由（Ⅲ）知道函数f（x）在区间[-

2

，

2

]是减函数，
这样，不等式f(sinx-cosx)＜f((

3

-1)cosx)可以化为sinx-cosx＞(

3

-1)cosx，
即sinx＞

3

cosx．
求得它的解集为{x|

π

3

+2kπ＜x＜

4π

3

+2kπ，k∈Z}．

点评：本题主要考查函数的最值及其几何意义，函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的
单调性求函数的最值，两角和差的正弦公式，三角不等式的解法，属于中档题．