Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（3x）=cf（x）（c为正常数）；②当3≤x≤9时，f（x）=1-|x-6|，若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=

1或3

．

Answer 1

分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：当3^n-1≤x≤3ⁿ（n∈N^*）时，

x

3n-2

∈[3，9]
∵函数f（x）满足：①f（3x）=cf（x）（c为正常数）；②当3≤x≤9时，f（x）=1-|x-6|，
∴n≥2时，f（x）=c^n-1×f（

x

3n-2

）=c^n-1×[1-|

x

3n-2

-6|]
由函数解析式知，当

x

3n-2

-6=0时，函数取得极大值c^n-1，
∴极大值点坐标为（6×3^n-2，c^n-1）
∴n≥3时，根据直线斜率相等即

cn+1-cn

6×3n-6×3n-1

=

cn-cn-1

6×3n-1-6×3n-2

，化简可得c-1=

c(c-1)

3

解得c=1或3
故答案为：1或3．

点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出函数的极值点坐标，是解答本题的关键．