Question

（2011•成都一模）已知函数f（x）=m+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+a_n+1xⁿ⁺¹，n∈N^*．
（I）若f（x）=m+

1

2

x2+

1

3

x3．
①求曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②若函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，求m的取值范围；
（II）当a_n=

1

2n-1

时，设函数f（x）的导函数为f'（x），令T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

，证明：T_n≤f'（1）-1．

Answer 1

分析：（I）①由f（x）=m+

1

2

x2+

1

3

x3，可得f′（x）=x+x²，从而可求曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②f′（x）=x+x²=x（x+1），根据f′（x）＜0得-1＜x＜0，f′（x）＞0得x＜-1或x＞0，利用函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，可得f（-1）＞0，f（0）＜0，从而可
求m的取值范围；
（II）先求导函数f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+…+（n+1）a_n+1xⁿ，再利用错位相减法求得f′（1）=4-

n+3

2n

，进而分类讨论可证

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤3-

n+3

2n

解答：解：（I）由f（x）=m+

1

2

x2+

1

3

x3，f′（x）=x+x²
①曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率k=f′（1）=2
②f′（x）=x+x²=x（x+1）
由f′（x）＜0得-1＜x＜0
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞0
∵函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上
∴f（-1）＞0，f（0）＜0
∴

m+ 1 2 - 1 3 ＞0 m＜0

∴-

1

6

＜m＜0
（II）f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+…+（n+1）a_n+1xⁿ，
∵f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+（n+1）a_n+1=1+2×

1

2

+…+(n+1)

1

2n

①

1

2

f′（1）=1×

1

2

+2×

1

22

+…+(n+1)

1

2n+1

②
①-②：

1

2

f′（1）=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-(n+1)

1

2n+1

=2-

n+3

2n+1

∴f′（1）=4-

n+3

2n

要证：T_n≤f'（1）-1．
即证：

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤3-

n+3

2n

当n=1时，T₁=f'（1）-1=1
当n=2时，T2=

5

4

，f'（1）-1=

7

4

，∴T_n＜f'（1）-1
当n≥3时，Tn＜1+

1

1

-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

而2n=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

…+ 

C

n n

≥2n=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

n n

=2+n+

n(n-1)

2

(n≥3)
∵n≥3，∴n（n-1）＞2，∴

n(n-1)

2

＞1，∴2ⁿ＞n+3
∴

n+3

2n

＜1＜1+

1

n

∴

n+3

2n

＜1+

1

n

∴2-

1

n

＜ 3-

n+3

2n

∴当n≥3时，Tn＜2-

1

n

＜ 3-

n+3

2n

=f'（1）-1．
∴T_n≤f'（1）-1恒成立．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查函数的极值，同时考查数列与不等式的综合，难度较大，尤其（II）学生觉得无从下手．