【题目】设椭圆C: =1的离心率e=
,动点P在椭圆C上,点P到椭圆C的两个焦点的距离之和是4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若椭圆C1的方程为 =1(m>n>0),椭圆C2的方程为
=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.已知椭圆C2是椭圆C的3倍相似椭圆.若过椭圆C上动点P的切线l交椭圆C2于A,B两点,O为坐标原点,试证明当切线l变化时|PA|=|PB|并研究△OAB面积的变化情况.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,e= =
,
由椭圆的定义可得2a=4,即a=2,
即有c=1,b2=a2﹣c2=3,
则椭圆C方程为: =1;
(Ⅱ)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为: =3;
①若切线l垂直于x轴,则其方程为:x=±2,解得y=± ,
显然|PA|=|PB|,|AB|=2 ,△OAB面积为
×2×2
=2
;
②若切线l不垂直于x轴,可设其方程为:y=kx+m.
将y=kx+m代人椭圆C方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=(8km)2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=48(4k2+3﹣m2)=0,
即m2=4k2+3,
设A,B两点的坐标分别是(x1 , y1),(x2 , y2),
将y=kx+m代入椭圆C2的方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣36=0,
此时x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
则AB的中点为(﹣ ,
),即为(﹣
,
),
代入椭圆C的方程,可得 +
=
=
=1,
满足椭圆方程,则|PA|=|PB|成立;
即有|AB|= |x1﹣x2|=
=
=
=
.
又点O到直线l的距离d= ,
可得S△OAB= |AB|d=2
,
综上,当切线l变化时,△OAB的面积为定值2
【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义可得a=2,再由离心率公式和a,b,c的关系,即可得到b,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)依题意,求得椭圆C2方程,讨论直线的斜率不存在,得到|PA|=|PB|和面积为定值;当切线l的斜率存在时,设l的方程为:y=kx+m,代入椭圆C2方程,运用韦达定理和中点坐标公式,可得|PA|=|PB|,由弦长公式,和点到直线的距离公式,结合面积公式,计算即可得到面积为定值.
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【题目】先后抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则( )
(A)P1=P2<P3 (B)P1<P2<P3 (C)P1<P2=P3 (D)P3=P2<P1
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【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
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【题目】给定集合A={a1 , a2 , a3 , …,an}(n∈N* , n≥3)中,定义ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N*)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量,用L(A)表示.若数列{an}是公差不为0的等差数列,设集合A={a1 , a2 , a3 , …,a2016},则L(A)= .
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【题目】如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(1)求证:EC⊥CD;
(2)求证:AG∥平面BDE;
(3)求:几何体EG-ABCD的体积.
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【题目】已知函数f(x)=2cos2ωx+ sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π,给出下列四个命题:
①f(x)的最大值为3;
②将f(x)的图象向左平移 后所得的函数是偶函数;
③f(x)在区间[﹣ ,
]上单调递增;
④f(x)的图象关于直线x= 对称.
其中正确说法的序号是( )
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④
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【题目】设函数f(x)=ax2-1-lnx,其中a∈R.
(1)若a=0,求过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,
① 求a的取值范围;
② 求证:f ′(x1)+f ′(x2)<0.
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