Question

11．已知B（m，2b）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{{\sqrt{10}}}{2}x$
• B． y=±$\frac{{\sqrt{13}}}{2}x$
• C． y=±$\frac{{\sqrt{15}}}{2}x$
• D． y=±$\frac{{\sqrt{19}}}{2}x$

Answer 1

分析 由题意可知，B（m，2b）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，代入可得m=$\sqrt{5}$a，利用tan60°=$\frac{2b}{\sqrt{5}a}$，解得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，从而求得此双曲线的渐近线方程．

解答 解：由题意得，B（m，2b）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，代入可得m=$\sqrt{5}$a
∵A为右顶点，O为坐标原点，∠AOB=60°，∴tan60°=$\frac{2b}{\sqrt{5}a}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，∴此双曲线的渐近线方程是 y=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$x，
故选C．

点评 本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，利用tan60°=$\frac{2b}{\sqrt{5}a}$是解题的关键．