Question

18．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=nS_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根据等比数列的性质可求出a₂的值，然后根据S_2n=3（a₁+a₃+…+a_2n-1）中令n=1可求出首项a₁，从而求出公比，即可求出a_n的通项公式，
（Ⅱ）先根据等比数列的求和公式求出S_n，再求出b_n=nS_n，根据分组求和和错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）利用等比数列的性质可得，a₁a₂a₃=a₂³=8 即a₂=2
∵S_2n=3（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴n=1时有，S₂=a₁+a₂=3a₁从而可得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=-1+2ⁿ，
∴b_n=nS_n=-n+n•2ⁿ，
∴T_n=-（1+2+3+…+n）+1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
设A_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2A_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）2ⁿ⁺¹，
∴A_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$+2+（n-1）2ⁿ⁺¹．

点评 本题主要考查了等比数列的前n项和以及错位相减法求和，以及等比数列的性质和通项公式，属于中档题．