Question

10．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆C经过定点（1，-$\frac{3}{2}$），右顶点为B，过右焦点F₁的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别与直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交于E，F．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PB，QB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（3）求三角形BEF面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式e=$\frac{c}{a}$，求得a=2c，b²=3c²，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可k₁•k₂为定值；
（3）由三角形的面积${S_{△BEF}}=2|{k_1}-{k_2}|=2|{k_1}|+2|{k_2}|≥4\sqrt{|{k_1}{k_2}|}=6$，由（2）即可求得三角形BEF面积的最小值．

解答 解：（1）由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，b²=a²-c²=3c²，
将（1，-$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，则a²=4，b²=3，
椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（3分）
（2）证明：易知F₂（1，0），B（2，0），设直线l为：x=my+1，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}•\frac{y_2}{{{x_2}-2}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}}{{{m^2}（\frac{-9}{{3{m^2}+4}}）-m（\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}）+1}}$，
=$\frac{{\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}}{{{m^2}（\frac{-9}{{3{m^2}+4}}）-m（\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}）+1}}=\frac{-9}{{-9{m^2}+6{m^2}+3{m^2}+4}}=-\frac{9}{4}$，
k₁•k₂为定值-$\frac{9}{4}$；…（7分）
（3）设PB：y=k₁（x-2），QB：y=k₂（x-2），$x=\frac{a^2}{c}=4$，
可解得E（4，2k₁），F（4，2k₂），以EF为底求BEF面积为：${S_{△BEF}}=\frac{1}{2}|EF|•2=2|{k_1}-{k_2}|$，
由于${k_1}{k_2}=-\frac{9}{4}＜0$，
可知${S_{△BEF}}=2|{k_1}-{k_2}|=2|{k_1}|+2|{k_2}|≥4\sqrt{|{k_1}{k_2}|}=6$，
故三角形面积最小值为6．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．