Question

20．长方体的三个相邻面的面积分别为1，2，2，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为$\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 设出长方体的三度，利用面积求出三度，求出长方体的对角线的长，确定球的半径，然后求出球的体积．

解答 解：设长方体的三度为：a，b，c，由题意可知：ab=1，bc=2，ac=2，所以a=1，b=1，c=2，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{6}$
所以长方体的对角线的长为：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{6}$，所以球的半径为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
这个球的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{4}{3}×π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}=\sqrt{6}π$
故答案为：$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查长方体的面积与外接球的体积的运算，考查空间想象能力，计算能力，属于基础题．