Question

5．在三棱锥S-ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．
（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；
（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S-BC-A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点D，连结SD，MD，说明三角形SDM是等边三角形，推出异面直线SM与AC成60°角．
（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，说明SA与平面ABC所成的角α=∠SAM，通过求解三角形即可，二面角S-BC-A的大小β=∠SMA，通过三角形求解即可．

解答 解：（1）取AB的中点D，连结SD，MD，
显然$SM=SD=MD=\frac{1}{2}AB$
所以三角形SDM是等边三角形…（2分）
所以异面直线SM与AC成60°角…（4分）
（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，

因为SM⊥BC，AM⊥BC
所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO
所以SO⊥平面ABC
则SA与平面ABC所成的角α=∠SAM…（6分）
因为SA⊥SB，SA⊥SC
所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SM，
$cosα=\frac{SA}{AM}=\frac{a}{{\frac{{\sqrt{6}a}}{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（8分）
因为SM⊥BC，AM⊥BC
则二面角S-BC-A的大小β=∠SMA…（10分），
$cosβ=\frac{SM}{AM}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{6}a}}{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．