Question

【题目】某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形中，，，其中渠底宽为1米，渠口宽为3米，渠深米.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线方向加宽、方向加深，若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为米，若挖掘费用为每立方米万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰，端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米万元.

（1）用表示渠底的长度，并求出的取值范围；

（2）问渠深为多少米时，建设费用最低？

Answer 1

【答案】（1）；（2）当米时，建设费用最低

【解析】

（1）作出梯形的高，根据相似三角形和等腰梯形的面积关系，即可求得的长度及的取值范围；

（2）得出建设费用关于的函数，利用导数求出函数的单调性，从而得出函数的极小值，即可得到答案．

（1）过点作，过点作，垂足分别为，，

设扩建后渠底宽米，因为扩建后水渠仍为等腰梯形，渠深米，，所以，可得，，米，

则，，

扩建后梯形的面积.

又梯形的面积，因为，

所以，所以，

由，解得，

即，，

即渠底的长度为， 的取值范围为．

（2）建设费用为

，，

设，

则，解得.

		1
	-	0	+

所以当时，函数取得最小值，即建设费用最低.