Question

已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足||||＋·＝0.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设过点N的直线l的斜率为k，且与曲线C相交于点S、T，若S、T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，求Q点横坐标的取值范围．

Answer 1

(1)设点P(x，y)，根据题意则有：
＝(4,0)，||＝4，
||＝，＝(x－2，y)，
代入||||＋·＝0
得：4＋4(x－2)＝0.
整理得点P的轨迹C的方程：y²＝－8x.
(2)设S(x₁，y₁)，T(x₂，y₂)，
由题意得：ST的方程为y＝k(x－2)(显然k≠0)
与y²＝－8x联立消元得：ky²＋8y＋16k＝0，
则有：y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝16.
因为直线交轨迹C于两点，
则Δ＝b²－4ac＝64－64k²＞0，
再由y₁＞0，y₂＞0，则－＞0，故－1＜k＜0.
可求得线段ST中点B的坐标为(－＋2，－)，
所以线段ST的垂直平分线方程为
y＋＝－(x＋－2)．
令y＝0得点Q横坐标为x_Q＝－2－，
x_Q＝－2－＜－6.
所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．

略