Question

已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F，求证：AF=AE．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：可以以A为原点建立平面直角坐标系，然后据题意给出点A，B，C，D的坐标，然后根据BE∥AC，AC=CE，利用待定系数法求出E点的坐标，然后可得CE的直线方程，则F的坐标可求，问题即可解决．

解答： 证明：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2）．
再设E（x，y），由BE∥AC，AC=CE得：

AC

∥

BE

，结合

AC

=(2，2)，

BE

=(x-2，y)．
所以

2y-2(x-2)=0 22+22 = (x-2)2+(y-2)2

，解得

x=3+ 3 y=1+ 3

或

x=3- 3 y=1- 3

．
当E（3+

3

，1+

3

）时，易求得直线CE方程为y-2=(2-

3

)(x-2)．
令y=0得xF=-2(

3

+1)，故AF=2(

3

+1)．
此时AE=

(3+ 3 )2+(1+ 3 )2

=2(

3

+1)．所以AF=AE．
当E（3-

3

，1-

3

）时，易求得CE方程为y-2=(2+

3

)(x-2)．
令y=0得xF=2(

3

-1)．所以AF=2(

3

-1)，又AE=

(3- 3 )2+(1- 3 )2

=2(

3

-1)．
综上，AE=AF成立．

点评：本题考查了利用向量法证明几何问题的基本思路，一般先建系，然后设点，再利用题目给的共线、垂直、距离、角度等条件列出方程求解即可．