Question

已知函数f（x）=

a•5x+(a-2)•5-x

5x+5-x

，其中a为实常数．
（1）若该函数为奇函数，求实数a的值．
（2）当a=-1时，求该函数的值域并讨论该函数的单调性，说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数定义域为R，则f（0）=0，求得a．
（2）当a=-1时，代入解析式得到f（x），理由幂函数的单调性求其值域．

解答： 解：（1）因为该函数为奇函数，并且定义域为R，所以（0）=0，即

a+a-2

2

=0，解得a=1；
（2）当a=-1时，该函数为f（x）=

-5x-3×5-x

5x+5-x

=

-5x- 3 5x

5x+ 1 5x

=

-25x-3

25x+1

=-1-

2

25x+1

，值域为（-2，-1）；
理由如下：
因为25^x＞0，所以25^x+1＞1，-1＜

-2

25x+1

＜0，-2＜-1-

2

25x+1

＜-1，
所以它的值域为（-2，-1）．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用、值域的求法，本题利用了奇函数在x=0处的函数值为0求a，属基础题．