Question

已知

a

+3

b

与7

a

-5

b

 垂直，且

a

-4

b

与7

a

-2

b

垂直，则＜

a

，

b

＞=

 

．

Answer 1

分析：利用两个向量垂直，数量积等于0，可得

a

•

b

=

1

2

|

b

|²，进而可得|

a

|=|

b

|，代入两个向量的夹角公式可得cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，即可得答案．

解答：解：由条件知（

a

+3

b

•（7

a

-5

b

 ）=7|

a

|²-15|

b

|²+16

a

•

b

=0，
及（

a

-4

b

）•（7

a

-2

b

）=7|

a

²+8|

b

|²-30

a

•

b

=0．两式相减得46

a

•

b

=23|

b|

²，
∴

a

•

b

=

1

2

|

b

|²．代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|

a

|=|

b

|．
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1 2 | b |2

| b |2

=

1

2

，∴＜

a

，

b

＞=60°，
故答案为 60°．

点评：本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，两个向量的夹角公式的应用．