Question

【题目】设椭圆，B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，已知的最小值与最大值之和为4，且离心率，抛物线的通径为4．

求椭圆和抛物线的方程；

设坐标原点为O，A为直线与已知抛物线在第一象限内的交点，且有．

试用k表示A，B两点坐标；

是否存在过A，B两点的直线l，使得线段AB的中点在y轴上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）椭圆方程为，抛物线方程为；（2）①，，；②不存在.

【解析】

根据|的最小值与最大值之和为4，可求出a=2，再根据离心率求出c，再求得，则椭圆方程可得，根据抛物线的通径为4，可得，即可求出抛物线方程，设直线OA方程为，与抛物线方程联立，解得即可求出点A的坐标，根据设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立，解得即可求出点B的坐标，

根据的结论，利用线段AB的中点在y轴上，若求出k的值，在存在，否则不存在

解：为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，的最小值与最大值之和为4，

，，，，

椭圆方程为，抛物线的通径为4，，

抛物线的方程为．

设直线OA方程为，显然，将直线OA与抛物线联立：得，，，，，

设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立：得，

当时，，，，，

当时，，，，，

综上，，，

当时，，

的中点在y轴上

，即，此时方程无解，

当时，，

，即，此时方程无解，

综上可知，不存在这样的直线l，使得AB的中点在y轴上．