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    已知函数fn(x)=(1+
    1
    n
    )x    （n∈N*）．
    （Ⅰ）比较fn′（0）与
    1
    n
    的大小；
    （Ⅱ）求证：
    f1′(1)
    2
    +
    f2′(2)
    3
    +
    f3′(3)
    4
    +…+
    fn′(n)
    n+1
    ＜3    ．
    （Ⅰ）fn′(x)=(1+
    1
    n
    )xln(1+
    1
    n
    )
    则fn′(0)=ln(1+
    1
    n
    )    ，设函数φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]
    则φ′(x)=
    1
    1+x
    -1=
    -x
    1+x
    ＜0    ，则φ（x）单调递减，
    所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x
    则ln(1+
    1
    n
    )＜
    1
    n
    ，即fn′(0)＜
    1
    n
    ；
    （Ⅱ）
    fn′(n)
    n+1
    =
    (1+
    1
    n
    )    n    ln(1+
    1
    n
    )
    n+1
    ＜
    (1+
    1
    n
    )    n
    n(n+1)
    ．
    因为(1+
    1
    n
    )n    ＜1+1+
    1
    1•2
    +
    1
    2•3
    ++
    1
    (n-1)n
    =3-
    1
    n
    ＜3
    则
    f1′(1)
    2
    +
    f2′(2)
    3
    +
    f3′(3)
    4
    ++
    fn′(n)
    n+1
    ＜3(
    1
    1•2
    +
    1
    2•3
    ++
    1
    (n-1)n
    )=3(1-
    1
    n
    )＜3
    则原结论成立．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数fn(x)=(1+
    1
    n
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    （Ⅰ）比较fn′（0）与
    1
    n
    的大小；
    （Ⅱ）求证：
    f1′(1)
    2
    +
    f2′(2)
    3
    +
    f3′(3)
    4
    +…+
    fn′(n)
    n+1
    ＜3    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数fn(x)=x2+x+
    12
    的定义域是[n，n+1]（n是自然数），那么f1（x）的值域中共有
    4
    4
    个整数；fn（x）的值域中共有
    2n+2
    2n+2
    个整数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数fn(x)=
    ln(x+n)-n
    x+n
    +
    1
    n(n+1)
    （其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．
    （Ⅰ）求Sn；
    （Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使
    x
    ex-1
    +a=an    ，求a的取值范围；
    （Ⅲ）比较
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)    与an的大小，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•合肥三模）已知函数fn(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    (n+1)x2+x(n∈N*)    ，数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．
    （1）求a2，a3，a4；
    （2）根据猜想数列{an}的通项公式，并证明；
    （3）求证：
    1
    (2a1-5)2
    +
    1
    (2a2-5)2
    +…+
    1
    (2an-5)2
    ＜
    3
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数fn(x)＝(1＋x)n－1，（n∈N*，且n＞1）．

    (Ⅰ) 设函数，求的最大值和最小值

    (Ⅱ) 若求证：fn(x)≥nx.

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