【题目】已知定义在
上的函数
同时满足：①对任意
，都有
；②当
时，
，
（1）当
时，求的表达式；
（2）若关于
的方程
在
上有实数解，求实数
的取值范围；
（3）若对任意
，关于的不等式
都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【解析】
(1)由①求函数周期T=2，然后由函数周期性和递推关系式求出
的函数解析式；
(2)设方程的实数解为
，利用(1)的结论解方程和不等式
或
即可求出参数
的取值范围；
(3)先求函数的最小值
，再由函数的周期性可得在
上恒有，然后求得在上
的最大值为
最后由
即可得出答案.
（1）∵对任意
，都有
，∴
，
即
则可得函数的周期为T=2，
当
时，
,∴当
时，
，
，
当
时，
，
，
∴时， ；
（2）设关于
的方程
在
上的实数解为
则或，∴
或
∴或
（3）由(1)得可得在上
，又因函数
的周期为T=2，则可得上恒有，
令函数得在上单调递增，则可得
，
由题意对任意，关于的不等式
都成立，
则可得恒有：
即解得.
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【题目】已知函数
.
（1）当
时，求
的极值；
（2）是否存在实数
，使得与
的单调区间相同，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若
，求证：
在
上恒成立.
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【题目】在直角梯形PBCD中， 
，A为PD的中点，如下左图。将
沿AB折到
的位置，使
，点E在SD上，且
，如下图。
（1）求证： 
平面ABCD；
（2）求二面角E—AC—D的正切值．
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【题目】某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积
(单位：平方米)与经过时间
个月的关系有两个函数模型
与
可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
（2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍
(参考数据:
)
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【题目】如图，在边长为2的正方形
中，
，
分别为
，
的中点，
为
的中点，沿
，，
将正方形折起，使
，
，
重合于点
，在构成的四面体
中，下列结论中错误的是（ ）
A. 
平面
B. 直线
与平面所成角的正切值为
C. 异面直线
和求所成角为
D. 四面体的外接球表面积为
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【题目】已知圆
与直线
相切于点
，圆心在
轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线
与圆相交于
两点，
为坐标原点，直线
分别与直线
相交于
两点，记
，
的面积分别是
，求
的取值范围.
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【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间
（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数
和样本方差
（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，
近似为样本方差．
（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
，令
，则
，且
．利用直方图得到的正态分布，求
．
（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记
表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求
（结果精确到0.0001）以及的数学期望．
参考数据：
，
．若，则
.
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【题目】某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值并估计这50名使用者问卷评分数据的中位数；
（2）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．
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