Question

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）若m≥1，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

证明：（1）当m＜1时，f（x）=x（3-x²）=3x-x³．
因为f′（x）=3-3x²=3（1-x²）＞0．
所以f（x）是增函数．
解：（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0．
则g（x）=，
当时，由g′（x）=3-3x²=0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，]上是减函数．
当时，g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[，+∞）上是增函数．
所以当时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（）=0．
从而0＜m＜1不符合题意，符合题意．
当m时，在时，f（x）∈[0，2]；
在时，f（x）∈[0，f（m）]．
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得．
综上所述，m的取值范围是[1，2]．
（3）由（2）知，当1≤m≤2时，f（x）在[0，m]上的最大值为f（1）=2，最小值为f（0）=0，
∴f（x）在[0，m]上的值域为[0，2]．
当m＞2时，f（x）在[，m]上单调递增，
，
∴f（x）在[0，m]的值域为[0，m³-3m]．
分析：（1）当m＜1时，f（x）可去掉绝对值化简，利用导数即可证明．
（2）先用导数求g（x）=x|x²-3|在x∈[0，+∞）上的值域，结合图象，可得函数f（x）的值域是[0，2]时m的取值范围．
（3）当m≥1时，先求f（x）在[0，m]上的单调区间，根据单调性即可求得．
点评：本题考查了导数在函数单调性的判断及证明中的应用，注意体会数形结合思想在解答本题中的运用．