Question

（12分）（理）如图9－6－6，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）问BC边上是否存在Q点，使⊥，说明理由．
（2）问当Q点惟一，且cos<，>=时，求点P的位置．

Answer 1

解：（1）如答图9－6－2所示，建立空间直角坐标系A一xyz，设P（0，0，z），
D（0，a，0），Q（1，y，0），

则=（1，y，－z），=（－1，a－y，0），且⊥．
∴·－1+y（a－y）=0y²－ay+1=0．
∴△=a²－4．
当a＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q点；
当a＝2时，△＝0，存在惟一一个符合条件的Q点；
当a＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q点．
（2）当Q点惟一时，由5题知，a=2，y=1．
∴B（1，0，0），=（－1，0，z），=（－1，1，0）．
∴cos<，>===．
∴z=2．即P在距A点2个单位处．

略