Question

2．设函数f（x）=|3x-1|+ax+3，a∈R．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤4；
（2）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，得出f（x）=|3x-1|+x+3，这样可讨论x，从而去绝对值号即可将f（x）≤4转化为关于x的一元一次不等式，解不等式得出x的范围，求并集即得出原不等式的解集；
（2）去绝对值号便可得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x+2}&{x≥\frac{1}{3}}\\{（a-3）x+4}&{x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，这样便可看出，要使得f（x）有最小值，需满足$\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a-3≤0}\end{array}\right.$，这样便可得出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|3x-1|+x+3；
①当$x≥\frac{1}{3}$时，f（x）≤4可化为3x-1+x+3≤4，解得$\frac{1}{3}≤x≤\frac{1}{2}$；
②当$x＜\frac{1}{3}$时，f（x）≤4可化为-3x+1+x+3≤4，解得$0≤x＜\frac{1}{3}$；
综上可得，原不等式的解集为$[0，\frac{1}{2}]$；
（2）$f（x）=|3x-1|+ax+3=\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x+2}&{x≥\frac{1}{3}}\\{（a-3）x+4}&{x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$；
函数f（x）有最小值的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a-3≤0}\end{array}\right.$；
即-3≤a≤3；
∴a的取值范围为[-3，3]．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性，分段函数最小值的求法．