Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD于A，E、F分别是AB，PD之中点．
（1）求证：AF∥平面PCE．
（2）若二面角P-CD-B为45⁰，求证：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）要证AF∥平面PCE，只需证明AF与平面PCE 内的一条直线平行即可．设G为PC中点，连接GF，GE，能够证明EAFG为平行四边形，证出AF∥EG后，问题获证．
（2）若二面角P-CD-B为45，可以得出∠PDA=45°，△PDA 为等腰直角三角形，得出AF⊥PD，AF⊥面PDC，再由（1）证得AF∥EG，得出EG⊥面PDC后，即可证出．

解答：解：（1）设G为PC中点，连接GF，GE
∵E、F分别是AB，PD之中点，
∴FG∥CD，FG=

1

2

CD．EA∥CD，EA=

1

2

CD．
∴EAFG为平行四边形，
∴AF∥EG，又AF?平面PCE．EG?平面PCE．
∴AF∥平面PCE．
 （2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又AD⊥CD，CD⊥面PAD，
∴CD⊥DP，∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，
∴∠PDA=45°，可得△PDA 为等腰直角三角形．
又 F是PD之中点，
∴AF⊥PD，又CD⊥AF，
∴AF⊥面PDC，由（1）证得AF∥EG，所以EG⊥面PDC，．
又EG?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD．

点评：本题考查空间平行和垂直的位置关系的判定，二面角的定义及度量，考查空间想象能力，推理论证能力、转化能力．