Question

20．己知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$（x∈R）．
（1）求f（x）+f（1-x）；
（2）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2013}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的解析式，可证f（x）+f（1-x）=1．
（2）由倒序相加法可得所求为1007对的组合，即1007个1，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}•{4}^{x}}{{{4}^{x}•{4}^{1-x}}^{\;}+2•{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{{4}^{x}+2}$=1．
f（x）+f（1-x）=1；
（2）由（1）可得S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2013}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007×1=1007．

点评 本题考查函数与方程的应用，倒序相加法求和，得出f（x）+f（1-x）=1并得出所求即为1007对项的和是解决问题的关键，属中档题．