Question

5．如图，过抛物线y²=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．

Answer 1

分析 设出直线BA、AC的方程与椭圆方程联立，求出C，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值

解答 证明：∵点A坐标为（4，2），设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由已知设BA：m（y-2）=x-4，即：x=my-2m+4，
代入抛物线的方程得：y²=my-2m+4，即y²-my+2m-4=0，
则：y₁+2=m，故：y₁=m-2，
设CA：-m（y-2）=x-4，即：x=-my+2m+4，
代入抛物线的方程得：y²=-my+2m+4，即y²+my-2m-4=0，
则：y₂+2=-m，故y₂=-m-2，…（10分）
直线CB的斜率k_CB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2m}{-8m}$=-$\frac{1}{4}$，
所以：直线BC的斜率为定值．

点评 本题考查的知识点是抛物线的性质，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．