Question

【题目】如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.

（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，

分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.

（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.

由平面平面，且交于，平面，有平面，

由平面平面，且交于，平面，有平面

，所以∥，又平面，平面，所以∥平面

，由，有，∥，又平面，平面

，所以∥平面，

由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面

（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系

由面，所以面的法向量可取，

点，点，点，，，

设面的法向量，所以

，取，

二面角的平面角为，则为锐角.

所以