Question

9．已知椭圆E的两个焦点分别为（0，-1）和（0，1），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求椭圆E的方程
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点P（0，$\frac{1}{2}$），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，b²=1，即可求得椭圆E的方程；
（2）由丨PA丨=丨PB丨，利用两点之间的距离公式求得（x₁+x₂）（k²+1）=-2k（m-$\frac{1}{2}$），①，将直线方程代入椭圆方程，x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+2}$，②，由△＞0，m²＜k²+2，③代入即可求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的垂直平分线过定点P（0，$\frac{1}{2}$），
∴丨PA丨=丨PB丨，即${x}_{1}^{2}+（{y}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}$=${x}_{2}^{2}+（{y}_{2}-\frac{1}{2}）^{2}$，
∵A，B在l上，则y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，代入求得（x₁+x₂）（k²+1）=-2k（m-$\frac{1}{2}$），①
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²+2kmx+m²-2=0，
由韦达定理：x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+2}$，②，
由直线和椭圆有两个交点，
∴△＞0，即4k²m²-4（k²+2）（m²-2）＞0，则m²＜k²+2，③
将②代入①得m=$\frac{{k}^{2}}{2}+1$，④，
将④代入③，解得：-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$，
∵k≠0，
∴实数k的取值范围（-$\sqrt{2}$，0）∪（$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．