Question

半径为1的球面上有A，B，C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是

π

2

，B和C的球面距离是

π

3

．
（1）求球心O到平面ABC的距离；
（2）求异面直线OA和BC的距离；
（3）求二面角B-AC-O的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知A和B的球面距离，A和C的球面距离都是

π

2

，B和C的球面距离是

π

3

，我们可以得到AO⊥面BOC，求出三棱锥O-ABC的体积及三角形ABC的面积，即可求出球心O到平面ABC的距离；
（2）过O作OD⊥BC，可证得OD为异面直线OA和BC的公垂线段，即为异面直线OA和BC的距离，解△OBC，即可得到OD的长，进而得到异面直线OA和BC的距离；
（3）过B作BE⊥OC，可证得BE⊥面AOC，则△ABC在面AOC内的投影为△AEC，则S_△ABC•cosθ=S_△AEC（其中θ为二面角B-AC-O的大小），分别求出两个三角形的面积，即可求出二面角B-AC-O的大小．

解答：解：（1）由题意知：∠AOC=

π

2

，∠AOB=

π

2

，∠BOC=

π

3

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=

2

，BC=1．
∵VA-OBC=

1

3

S△OBC|AO|=

3

12

又VA-OBC=

1

3

S△ABC•h（h为O到平面ABC的距离）
∵S△ABC=

7

4

∴h=

21

7

∴球心O到平面ABC的距离

21

7

（4分）
（2）过O作OD⊥BC，∵AO⊥面BOC，且OD?面BOC，∴OD⊥AO，
∴OD为异面直线OA和BC的公垂线段，即为异面直线OA和BC的距离．
又∵△OBC为等边三角形，且边长为1．所以OD=

3

2

异面直线OA和BC的距离为

3

2

（8分）
（3）过B作BE⊥OC，∵△BOC为等边三角形，∴则垂足为OC的中点．
∵AO⊥面BOC且BE?面BOC，
∴AO⊥BE，又，BE⊥OC，OA∩OC=O．∴BE⊥面AOC
∴△ABC在面AOC内的投影为△AEC
∵S_△ABC•cosθ=S_△AEC（其中θ为二面角B-AC-O的大小）S△ABC=

7

4

，S△AEC=

1

4

∴cosθ=

7

7

∴二面角B-AC-O的大小：arccos

7

7

（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，空间点到平面的距离及异面直线的距离，（1）中问题常用体积来进行解答，即求出棱锥的体积及底面积，代入得到顶点到底面的距离，（2）的关键是找到公垂线段，（3）的关键是得到BE⊥面AOC，进而得到△ABC在面AOC内的投影为△AEC，并根据S_△ABC•cosθ=S_△AEC得到答案．