Question

已知向量

a

=（sinθ，2），

b

=（cosθ，1），且

a

∥

b

，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin(θ-ω)=

3

5

，0＜ω＜

π

2

，求cosω的值．

Answer 1

分析：（1）通过向量的平行，推出sinθ=2cosθ，根据θ的范围，同角三角函数的基本关系式，直接求sinθ和cosθ的值；
（2）根据sin(θ-ω)=

3

5

，0＜ω＜

π

2

，θ∈(0，

π

2

)，求出sin(θ-ω)=

3

5

，结合cosω=cos[θ-（θ-ω）]展开，即可求cosω的值．

解答：（1）解：∵向量

a

=（sinθ，2），

b

=（cosθ，1），且

a

∥

b

，
∴

sinθ

2

=

cosθ

1

，即sinθ=2cosθ．
∵sin²θ+cos²θ=1，θ∈(0，

π

2

)，
解得sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

，
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．
（2）解：∵0＜ω＜

π

2

，θ∈(0，

π

2

)，∴-

π

2

＜θ-ω＜

π

2

．
∵sin(θ-ω)=

3

5

，
∴cos(θ-ω)=

1-sin2(θ-ω)

=

4

5

．
∴cosω=cos[θ-（θ-ω）]=cosθcos（θ-ω）+sinθsin（θ-ω）=

2 5

5

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，向量平行的应用，注意角的范围三角函数的符号，函数值的确定，角的变换的技巧，考查计算能力，常考题型．