Question

已知函数f（x）是偶函数，f′（x）是它的导函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）≤0恒成立，且f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：根据f（x）+xf′（x）≤0，构造函数F（x）=xf（x），通过研究函数F（x）的单调性，结合f（-2）=0，画出F（x）的大致图象，根据图象写出不等式的解集．

解答： 解：设F（x）=xf（x），
当x＞0时，F′（x）=f（x）+xf′（x）≤0
∴函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵函数f（x）是偶函数
∴F（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-F（x）
∴函数F（x）是奇函数，
∴函数F（x）在（-∞，0）上也是减函数，
∵f（-2）=0，∴f（2）=0
画出F（x）的大致图象如图：
由图象观察可得：xf（x）＜0即F（x）＜0解集为（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．