Question

若向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是

 

，则实数λ的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：先根据向量的运算和三角函数的和差公式，以及二倍角公式，原函数化为f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，再根据x∈[0，

π

2

]，
求的λ∈[0，1]，构造函数g（λ）=-1-2λ²，求出函数的最小值即可

解答： 解：∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|
=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

）-2λ|（cos

3

2

x+cos

x

2

，sin

3

2

x-sin

x

2

）|
=cos2x-2λ

2+2cos2x

=2cos²x-1-4λcosx，
=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
当cosx-λ=0时函数f（x）有最小值                                             
即cosx=λ，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴λ∈[0，1]，
设g（λ）=-1-2λ²，
因函数g（λ）在∈[0，1]为减函数，
∴g（λ）∈[-3，-1]，
故函数g（λ）的最小值为-3，
当且仅当λ=1时，即cosx=1，x=0时成立，
故答案为：-3，1

点评：本题考查了向量的数量积的运算和模的计算，以及三角函数的和差公式以及二倍角公式，以及函数最值问题，属于中档题