Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD．
（1）证明PA∥平面BDE；   
（2）证明AC⊥平面PBD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AC∩BD=H，连结EH．只要证明EH∥PA．
（2）由（1）可得，DB⊥AC．因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．根据线面垂直的判定定理可证．

解答： 证明：（1）设AC∩BD=H，
连结EH．在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分
∠ADC，所以H为AC的中点．
又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．
又EH?平面BDE且PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
证明：（2）因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．
由（1）可得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，
故AC⊥平面PBD．

点评：本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用，关键是熟练判定定理的体积，正确运用．