Question

在下列函数中：
①y=|x+

1

x

|； 
②y=log₂x+log_x2（x＞0，且x≠1）；
③y=3^x+3^-x；
④y=x+

4

x

-2； 
⑤y=

x

+

4

x

-2，
其中最小值为2的函数是

 

．（填入正确命题的序号）

Answer 1

考点：基本不等式,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出x＞0时的函数的最小值，结合函数的奇偶性得到函数y=|x+

1

x

|的最小值判断①； 
分x＞1和0＜x＜1分析函数y=log₂x+log_x2的值域情况判断②；
直接利用基本不等式求函数的最小值判断③⑤；
分x＞0和x＜0分析函数的值域情况判断④．

解答： 解：对于①，y=|x+

1

x

|为偶函数，当x＞0时，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2（当且仅当x=1时等号成立），
∴y=|x+

1

x

|的最小值为2； 
对于②，y=log₂x+log_x2，当x＞1时，y≥2，当0＜x＜1时，y=-（-log₂x-log_x2）≤-2；
对于③，y=3^x+3^-x=3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，
当且仅当3x=

1

3x

，即x=0时等号成立；
对于④，y=x+

4

x

-2，当x＜0时y＜0，函数的最小值不是2； 
对于⑤，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，
当且仅当

x

=

4

x

，即x=4时取等号．
∴最小值为2的函数是①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．